法国哲(zhe)学家和数学家勒内(nei)·笛卡尔凭借《方法(fa)论》为17世纪数学的复兴做出了(le)巨大贡献。也正(zheng)是由于这本书，人(ren)们把统一代数和几(ji)何或者创立解析几(ji)何的荣誉归功于笛卡尔。
笛卡尔本人尤其关(guan)注古希腊数学家巴伯斯和(he)丢番图，他注意到数学唯一(yi)关心的是次序和度量问题，而问题中的量度是否涉及数字、形(xing)状、恒星等任何东西(xi)都是无关紧要的。这启发了他(ta)去寻找一门通用(yong)数学——能够提出与解释次序和量度(du)相关的问题，而无需(xu)考虑所要解决的问题。于是(shi)，笛卡尔把所有的精力(li)都用于寻找通用数学。
至1619年时。笛(di)卡尔有信心在自己(ji)的思想和创新的基础(chu)上建立一整套完整的哲(zhe)学系统，该系统可以为学习和研究(jiu)开创一条充满确定性和明(ming)确性的路。在接(jie)下来的的20年间，笛卡(ka)尔发展了这些观点，并(bing)将领域扩充到对整个世界运转方式(shi)的宏大严谨的解释。1633年开始(shi)完成《论世界的》的手稿(gao)时，由于获悉伽(ga)利略因赞同哥白尼日心说而宗(zong)教监禁，笛卡尔并未出版该(gai)书。事实上直到《方法论(lun)》，这期间写成的书均未出版(ban)，当然除了担心教会的(de)惩罚，另一个原因是当时没有科学(xue)期刊。
“大战”的前夕(xi)当时的法国有(you)一个勤于学术的牧师马(ma)林·梅森，充当了(le)科学期刊的作用(yong)，他的家成为了当时(shi)最顶尖的数学家的(de)聚会所。梅森与其他(ta)数学家一直保持通信，这也是笛卡尔与(yu)费马争论的阵地了。
笛卡(ka)尔在方法论的开篇中提到：不能(neng)确知是对的事,不要接受(shou)。这就是说,在判断(duan)时谨慎地避免仓促和偏见,只接受那些(xie)非常清晰地印在脑海中不容置疑(yi)的东西；笛卡尔(er)认为可以运用数学作为基(ji)础来进行建构。正如他提出的:“我尤其喜欢数学,因为它(ta)们说理时的确定和明晰。但我还(hai)没有精确地掌握它们的正确(que)用法;考虑到它们对机械(xie)技术的发展独一(yi)无二的贡献,这些基础如此(ci)牢固,它们无需我们再往前发展更多,我为此感到惊异。他的书没有(you)对世界做出完整的解释,但它的确主(zhu)张所有的自然现象都可以做(zuo)出机械的解释,这是一个非常有力的(de)观念。《方法论》一书包含3篇(pian)文章，依次是《折(she)射光学》、《大气(qi)现象》、《几何》，其中第一篇《折射(she)光学》和第三篇《几何(he)》是与费马争论的(de)焦点。而《几何》就(jiu)是笛卡尔留给数学的主要(yao)遗产，其中他对古希腊几(ji)何学家阿波罗尼奥(ao)斯留下来的问题给出了通用且彻(che)底的代数解法——方法的基础(chu)特征就是将方程和曲线联系起来，将(jiang)点和曲线放在同(tong)一个坐标系中，只是这里的坐标系(xi)并不是我们熟悉的坐标系。基于此，笛卡尔对方程理论做出了有意义的(de)贡献，把两个曲线放到同一个坐标系(xi)中，通过解出两曲线(xian)方程的公共根，寻找曲线的(de)交点；笛卡尔还引入了(le)一套符号系统，字母表开头的小写字(zi)母表示常数或已知数，而字母表末尾的(de)小写字母表示未知数。虽然凭借(jie)《几何》，笛卡尔成为解析几何的缔造(zao)者，但“解析几何”这一名(ming)称直到19世纪才出现。
想必笛卡尔对自己(ji)这种世界首创的独特方法(fa)是特别的自豪，然(ran)而却得到了当时重要数学(xue)家的批评，其中就(jiu)包括了费马，没错，就(jiu)是提出费马大定理的那个业余(yu)数学家。事情已通(tong)过笛卡尔同时代的数学家让·贝格兰开始的，1636年贝格(ge)兰出版了一本《刚体力(li)学》，该书得到了笛卡尔的严厉批评，或许这是一个让人(ren)怀恨在心也说不准，1337年冬，贝格兰得到了《折射(she)光学》的抄本，抄本在他与同僚(liao)之间的传阅，当然包括(kuo)费马，开始了猛烈的攻击。其中费(fei)马认为折射定律的证明根本(ben)就算不上是证明，当然没人知道笛卡尔得出折(she)射定律的关键步骤依赖(lai)于未出版的《论世界》中的精确论述，直到1644年笛卡尔出版《哲(zhe)学原理》，定律才得(de)到充分论述。
费马对《几何》在最大(da)值与最小值方面没有任何研究感到惊讶(ya)，于是费马把自己(ji)在这领域的成果寄(ji)给了梅森，包括了最值、曲(qu)线的切线方法，解(jie)析几何的成com果。笛卡尔在出版(ban)《方法论》之前，看到了(le)费马的这些成果，两(liang)人的方法惊人的相似，这无疑成为了费(fei)马和笛卡尔冲突的诱因，于是评论和批判铺天盖地。特立(li)独行的笛卡尔对此大都以愤怒和(he)轻蔑回应，在任何场合都乐意(yi)争论的笛卡尔是不可能咽下这口(kou)气的，1638年(nian)笛卡尔开始针对(dui)费马的批评给予反击：指责费马(ma)缺乏数学家和思想者的素质，笛(di)卡尔认为费马的成果应该归功于他。人(ren)们普遍认为，当时的费(fei)马应该是完全不(bu)知道笛卡尔的成果(guo)的，他们是各自独立的解决轨迹问(wen)题。
笛卡尔的反击论战扩大，更多人卷入其中(zhong)，罗贝瓦尔和帕斯卡站在了费马一(yi)边，克劳德·麦多治和吉拉德·德扎格(ge)站在了笛卡尔这边(bian)。
费马虽然是那(na)个时代伟大的数学家，但是他在论(lun)文中常常是忽略(lue)细节的，而且在面对别人的质疑(yi)时，又偏偏不做详细说明，这确实让(rang)当时的同行不悦。丢番图一书中关于(yu)费马大定理的几行字就可见一斑。笛卡(ka)尔同样指责费马寻找最大值、最小值的(de)方法和关于切线的规则都不是(shi)严格推导的结果；更(geng)狠的是说费马的声誉主要来自两个幸运(yun)的猜想，这是极(ji)易引起费马及追随者的怒火的。相对(dui)于笛卡尔的猛烈攻势，费马好像(xiang)要淡定的多，或许是在憋大招(zhao)。
争斗持续了20年，在间歇期，笛卡尔(er)更多的是继续在哲学和形而上学上的研(yan)究，并出版了倍受好评的书(shu)籍；而经过四次修订的《几(ji)何》，深深的影响了(le)新一代的数学家，更是巩固了他(ta)在数学界的荣誉，除(chu)此之外笛卡尔算是远(yuan)离了数学，暴躁易怒和出言刻薄的他也(ye)得罪了不少数学家。1650年(nian)，在尊敬和荣誉(yu)中，笛卡尔离开了人世(shi)。
费马的复仇(chou)即便是笛卡尔已经离世，费马的(de)伤痛依旧。17世界50年代末，一位笛卡尔的忠实的拥趸克(ke)劳德·克雷色列尔在编辑笛卡尔的书信(xin)集，请求费马把(ba)他希望编入的信件抄本提供给他(ta)，这让费马得到了“复仇”的大好时(shi)机，于是他给克(ke)雷色列尔回了一封长信，只(zhi)是信件没有达到恢复费(fei)马名誉的效果，尽管此时的费马用(yong)语更加的强硬。相比于笛卡尔离开(kai)了数学，费马勤奋钻研，在数论和概(gai)率论领域做出了(le)重大贡献，也为微积分的发展(zhan)打下了基础，而(er)且费马在解析几何上的方法更接(jie)近我们现在所用(yong)的方法，但笛卡尔所用的符(fu)号更现代化一些。内敛些的费马(ma)生前并未得到广泛的认可，费马自称更愿意去探索确定性的真理，而不愿意花费更多时间在辩论、虚名(ming)和无谓的争论上。然(ran)而笛卡尔和费马两人(ren)对17世纪的数学(xue)发展所做的贡献是不(bu)可磨灭的。
